数学分析中的典型问题和方法第一章课后习题答案裴礼文.doc

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1、裴礼文第一章习题解答1.1.1 求复合函数表达式:(1) 已 知 , , 求;(南京邮电大学等)(2) 设 ,试证明 ,并求(华中理工大学)1.1.2 是否存在这样的函数 ,它在区间 上每点取有限值 ,在此区间的任何点的任意邻域内无界. (上海师范大学)1.1.3 试说明能有无穷多个函数 ,其中每个函数 皆使 为 上的恒等函数.1.1.4 设 为 上的奇函数, , ,.1) 试用 表达 和 ;2) 为何值时, 是以 为周期的周期函数. (清华大学)1.1.5 设 (即 的小数部分), ,说明这时为何不是周期函数.类似地 也如此.从而周期函数的和与差未必是周期函数.1.1.6 设 是 上的实函数

2、, 的图像以直线 和直线分别作为其对称轴, 试证 必是周期函数, 且周期为 .1.1.7 设 是 上的奇函数, 并且以直线 作为对称轴,试证 必为周期函数并求其周期.1.1.8 设 是 上以 为周期的周期函数 , 且 在 上严格单调, 试证 不可能是周期函数1.1.9 证明确界的关系式:1) 叙述数集 的上确界定义, 并证明: 对于任意有界数列 ,总有 (北京科技大学)2) 设 是两个由非负数组成的任意数集, 试证1.1.10 试证:若 ,则 必达到下确界(即使得 ). (武汉大学)1.1.11 设 是 上的实函数, 且在 上 不恒等于零，但有界，试证:、1.1.12 设 是闭区间 上的增函数

3、，如果 ,试证 ，使得 (山东大学)1.1.13 设 在 , 试证 ，使得 . (福建师范大学)1.2.11) 已知 , 求证:(武汉大学, 哈尔滨工业大学)2) 用 语言证明 (清华大学)1.2.2 用 方法证明:1)2)3)1.2.3 设 , 试用 方法证明：若 , 则1.2.4 设 ,试证 收敛.1.2.5 为一数列.试证: 若( 为有限数)则 (首都师范大学)1.2.6 设 且 时有 .已知 中存在子序列 .试证 (武汉大学)1.2.7 设 , 求证 发散.1.2.8 判断题:设 是一个数列, 若在任一子序列 中均存在收敛子列 则 必为收敛数列. (北京大学)1.2.9 设 为单调递增

4、数列， 为其一子列，若 ,试证 (华中师范大学)1.2.10 设 是一个无界数列,但非无穷大量,证明: 存在两个子列，一个是无穷大量，另一个是收敛子列. (哈尔滨工业大学)1.2.11 设函数 在 0 的某个邻域有定义，, ;且当 时 ，即 , , 时,对于一切 , 有 ;另设 .试证当右端极限存在时成立1.2.12 证明 .并求1.3.1 求极限(北京航空航天大学,中国科技大学)1.3.2 证明 公式:1.3.3 求1.3.4 求1.3.5 求1.3.6 求(华中师范大学)1.3.7 求 ( 湖 北 大学)1.3.8 设 在 上连续,求1.3.9 设极限 存在,试求1)2)1.3.10 设

5、,求(陕西师范大学)1.3.11 求 .(内蒙古大学)1.3.12 求 .(中国科学院)1.3.13 计算 (中国科学院)1.3.14 若 求 .(上海工业大学)1.3.15 求 (华中师范大学)1.3.16 证明: 当 时,1.3.17 求 (浙江大学)1.3.18 已知 ,求 (国防科技大学)1.3.19 求 (华中师范大学)1.3.20 求 (武汉大学)1.3.21 设 是 上的可微函数, ,试证1.3.22 设 是 上 的 可 微 函 数 , , 试 证1.3.23 ,试证:1)2) (南开大学)1.3.24 对 , ,令试先证明:然后求解1.4.1 求 ,其中1) 设2) 设1.4.

6、2 求 (华中师范大学)1.4.3 已 知 数 列 满 足 条 件 证 明 :(四川大学, 国防科技大学)1.4.4 设 .1) 若 为有限数, 证明:2) 若 为 , 证明: (南京大学)1.4.5 证明:若数列 收敛于 ,且 ,则(东北师范大学)1.4.6 已 知 存 在 , 为 单 调 增 加 的 正 数 列 , 且, ,求证:(北京师范大学)1.4.7 若 且 ,试证:1.4.8 求极限1)2)1.5.1 已知 试证: 存在并求其值 .(中国科技大学 ,北京大学 ,哈尔滨工业大学 ,北京邮电大学等)1.5.2 设 ,证明: 收敛,并求.(哈尔滨工业大学,华中理工大学等)1.5.3 设

7、,证明: 收敛并求其极限.(武汉大学,华中师范大学)1.5.4 设 证明收敛并求其极限(华东师范大学)1.5.5 设 , 试证 收敛 , 并求其极限.(华中理工大学,厦门大学,工程兵学院)1.5.6 求证:1.5.7 证明:1)存在唯一的 使得 ;2)任给 定义 ,则有 (中国人民大学)1.5.8 设 证明数列 .收敛.(北京师范大学)1.5.9 设 ,求 . (武汉大学)1.5.10 设 ,数列 由如下递推公式定义:求 (浙江大学)1.5.11 设 如果数列 收敛,计算其极限,并证明数列 收敛于上述极限.（武汉大学）1.5.12 设 , 其中: ,试证 : 存在且为克普勒方程的唯一根.1.5.13 设 ( ),