新课标人教A版高中数学（选修1-2）单元测试-第二章推理与证明（二）.doc

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1、第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理与演绎推理 (1) 归纳推理 【要点梳理】 1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 任何推理包括 和 两个部分。 是推理所依据的命题，它告诉我们 是什么， 是根据前提推得的命题，它告诉我们 是什么。 2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为 ，它的思维过程是 3、归纳推理有如下特点 （ 1）归纳推理的前提是几个已知的 现象，归纳所得的结论是尚属未知的 现象，该结论超越了前提所包含的范围。 （ 2）由归纳推理得到的结论具有 的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它 作为数学证明的工具。（填“能”或“不能”） （ 3

2、）归纳推理是一种具有 的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。 【指点迷津】 1、运用归纳推理 的一般步骤是什么？ 首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；然后，对所得的一般性命题进行检验。 2、在数学上，检验的标准是什么？标准是是否能进行严格的证明。 3、归纳推理的一般模式是什么？ S1具有 P； S2具有 P； Sn具有 P（ S1、 S2、 Sn是 A 类事件的对象） 所以 A 类事件具有 P 【典型例题】 例 1、设 Nnxfxfxfxfxfxfxxf nn ? ? )

3、,()(,),()(),()(,s in)( 112010 ?，则)()(2005 ?xf A、 xsin B、 xsin? C、 xcos D、 xcos? 【解析】： ,c o s)(sin)(1 xxxf ? )()()(s in)( c os)()(c os)( s in)(s in)c os()(c os)s in()(s in)( c os)(42615432xfxfxfxxxfxfxxxfxxxfxxxfxxxfnn ? ?故可猜测 )(xfn 是以 4 为周期的函数，有 xxf xfxf nn sin)( ,c o s)1()(24 14 ? ?xfxf xxf nn sin)

4、4()( c o s)(44 34 ? ?故选 C 【点评】归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法，必须认真学习领会，在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系。 例 2、根据所给数列前几项的值： ?,9910,638,356,154,32 猜想数列的通项公式。 【解析】： ?;119 529910;97 42638;75 32356;53 22154;31 1232 ? 于是猜想给数列的通项公式： ? ? ?1212 2 ? nn na n【点评】根据数 列中前几项给出数列的一个通项公式，主要是对数列特征进行认

5、真观察，结合常见数列的通项公式，对已知数列进行分解、组合，从而发现其中的规律。 例 3、在某报自测健康状况的报道中，自自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表，观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空格内 年龄（岁） 30 35 40 45 50 55 60 65 收缩压（水银柱 /毫米） 110 115 120 125 130 135 145 舒张压（水银柱 /毫米） 70 73 75 78 80 83 88 【解析】：从题目所给数据规律可以看 到：收缩压是等差数列，舒张压的数据变化也很有规律：随着年龄的变化，舒张压分别增加了 3 毫米、 2 毫米，照此规律， 60 岁时的收缩压和舒张压分别为

6、 140， 85 【点评】本题以实际问题为背景，考查了如何把实际生活中的问题转化为数学的能力，它不需要技能、技巧及繁杂的计算，需要有一定的数学意识，有效地把数学过程实施为数学思维活动。 【阶梯练习】 基础练习 1、等式 )475(21321 22222 ? nnn? （ ） A、 n 为任何正整数时都成立 B、 仅当 3,2,1?n 时成立 C、 当 4?n 时成立， 5?n 时不成立 D、 仅当 4?n 时不成立 2、已知数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，且 nn anSa 21 ,1 ? *Nn? ，试归纳猜想出 nS 的表达式为（ ） A、 12?nn B、 112?nn C、 1

7、12?nn D、 22?nn 3、在等差数列 ?na 中，首项为 1a ，公差为 d，则有 daadaadaann ?12312? 我们可以得出： ?na 4、从 1=1， )4321(16941,321941),21(41 ? ，概括出第 n 个式子为 能力训练 5、设 ?cos21 ? xx ，则 ?22 1xx， ?33 1xx ?nn xx 16、多面体的顶点数为 V，棱数为 E，面数为 F，则 V、 E、 F 三者之间的关系为 7、设平面内有 n 条直线（ 3?n ），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用 )(nf 表示这 n 条直线交点的个数，则 )4(f =

8、 ，当 n4时 ?nf = （用 n 表示） 8、已知 2 )1(4321,104321,6321,321 ? nnn?，观察下列立方和 ?,4321,321,21,1 3333333333 ? 试归纳出上述求和的一般公式？ 2.1.2 合情推理与演绎推理 (2) 类比推理 【要点梳理】 1、根据两个（或两类）对象之间在某些方面的 ，推演出它们在其他方面也 ，象这样的推理通常称为 ，简称 2、数学活动中常用的合情推理是 和 3、合情推理是根据 以及 等推测某些结果的推理过程。 【指点迷津】 1、类比推理的思维过程是什么？ 观察、比较 联想、类推 猜测新的结论 2、类比推理的一般步骤是什么？ （

9、 1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（ 2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）。 3、类比推理的特点是什么？ （ 1） 类比推理是从特殊到特殊的推理 （ 2） 类比推理是从人么已经掌握了的事物特征，推测出正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性 ，不一定可靠。 （ 3） 类比推理以旧的知识作基础，推测性的结果，具有发现的功能。 【典型例题】 例 1、类比圆的下列特征，找出球的相关特征 （ 1） 平面内与定点的距离等于定长的点的集合是圆； （ 2） 平面内不共线的 3 个点确定一个圆 （ 3） 圆的周长和面积可求 （ 4） 在平面直角坐标系中，以

10、点 ? ?00,yx 为圆心， r 为半径的圆的方程为 ? ? ? ? 22020 ryyxx ? 【解析】： (1)在空间内与定点距离等于定长的点的集合是球； （ 2）空间中不共面的 4 个点确定一个球； （ 3）球有表面积与体积； （ 4）在空间直角坐标系中，以点 ? ?000 , zyx 为球心， r 为半径的球的方程为? ? ? ? ? ? 2202020 rzzyyxx ? 【点评】 例 2、在等差数列 ?na 中，若 010?a ，则有等式 nn aaaaaa ? 192121 ? ? ?*,19 Nnn ? 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列 ?nb 中，若 19?b ，则有

11、等式 成立。 【解析】：在等差数列 ?na 中，由 010?a ，得 nn aaaaaa ? 20182191 ? 02 10191 ? ? aaa nn 所以 01921 ? aaaa n ? 即 1181921 ? nn aaaaaa ? 又 119182191 , ? ? nn aaaaaa ? 1181921 ? nn aaaaaa ? naa ? 1921 ? 若 09?a ，同理可得 nn aaaaaa ? 172121 ? 相应地等比数列 ?nb 中，则可得： ? ?*172121 ,17 Nnnbbbbbb nn ? ? 【点评】已知性质成立的理由是应用了“等距和”性质，故类比

12、等比数列中，相应的“等距积”性质，即可求解。 【阶梯练习】 基础练习 1、三角形的面积为 ? ? cbarcbaS ,21 ? 为三角形的边长， r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可得出四面体的体积为 （ ） A、 abcV 31? B、 ShV 31? C、 ? ?rSSSSV432131 ?（ 4321 , SSSS 分别为四面体的四个面的面积， r 为四面体内接球的半径） D、 )(,)(31 为四面体的高hhacbcabV ? 2、归纳推理和类比推理的相似之处为 （ ） A、都是从一般 到一般 B、都是从一般到特殊 C、都是从特殊到特殊 D、都不一定正确 3、下列说法正确的是（

13、） A、合情推理就是正确的推理 B、合情推理就是归纳推理 C、归纳推理是从一般到特殊的推理过程 D、类比推理是从特殊到特殊的推理过程 4、动物和植物的机体都是细胞组成的；植物细胞中有细胞核，所以动物细胞中也有细胞核。以上推理是 推理 能力训练 5、在平面上，到直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行直 线；类比在空间中：（ 1）到定直线的距离等于定长的点的轨迹是什么？（ 2）到已知平面相等的点的轨迹是什么？ 6 、 类 比 正 弦 、 余 弦 有 关 公 式 的 形 式 ， 对 于 给 定 的 两 个 函 数? ? ? ? 2,2 xxxx eexCeexS ? ? ，写出一个正确的运算公式。

14、7、在等差数列 ?na 中，若 qpnm ? ， ? ?*, Nqpnm ? ，则 qpnm aaaa ? ，通过类比，提出等比数列 ?na 的一个猜想。 8、平面几何与立体几何的许多概念、性质是相似的，如：“长方形的每一边与另一边平行，而与其余的边垂直”；“长方体的每一面与另一面平行，而与其余的面垂直”，请用类比法写出更多相似的命题。 链接高考 9、（ 2003 年高考）在平面几何里，有勾股定理：“设 ABC? 的两边 AB、 AC 互相垂直，则 222 BCACAB ? 。”拓展到空间，类比平面 几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得妯的正确结论是：“设三棱锥 A-BCD 的三个侧面 ABC、 ACD、 ADB两两互相垂直，则 ” 2.1.3 合情推理与演绎推理 (3) 演绎推理 【要点梳理】 1、我们把 的命题推演出 命题的推理方法，称为 推理，简称演绎法。 2、 是演绎推理的主要形式，常用格式为 3、演绎推理具有如下特点： （ 1）演绎推理是 ，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的 结论完全蕴涵于前提之中； （ 2）在演绎推理中， 和