2018版高中数学人教A版选修2-3检测及作业：课时作业 2分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用（习题课） Word版含解析.doc

1 课时作业课时作业 2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用(习题课习题课) |基础巩固基础巩固|(25 分钟，分钟，60 分分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1．用 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000 大 的偶数共有( ) A．144 个 B．120 个 C．96 个 D．72 个 解析：由题意知，首位数字只能是 4,5. 若首位数字是 5，则末位数字可从 0,2,4 中取 1 个，有 3 种方法． 其余各位数字有 4×3×2＝24 种； 由分步乘法计数原理知首位为 5 时，满足条件的数字个数为 3×24＝72. 若首位数字为 4，则有 2×4×3×2＝48 个． 依分类加法计数原理知满足条件的数字有 72＋48＝120 个．选 B. 答案：B 2. 如图，一环形花坛分成 A，B，C，D 四块，现有 4 种不同的花供 选种，要求在每块里种 1 种花，且相邻的 2 块种不同的花，则不同的 种法总数为( ) A．96 B．84 C．60 D．48 解析：A 有 4 种选择，B 有 3 种选择，若 C 与 A 相同，则 D 有 3 种选择，若 C 与 A 不同，则 C 有 2 种选择，D 也有 2 种选择，所以 共有 4×3×(3＋2×2)＝84 种． 答案：B 3．高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践， 其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配 方案有( ) A．16 种 B．18 种 2 C．37 种 D．48 种 解析：高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实 践有 43种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有 33种不同的 分配方案．则满足条件的不同的分配方案有 43－33＝37(种)．故选 C. 答案：C 4．将 3 本相同的小说，2 本相同的诗集全部分给 4 名同学，每 名同学至少 1 本，则不同的分法有( ) A．24 种 B．28 种 C．32 种 D．36 种 解析：第一类，有一个人分到一本小说和一本诗集，这种情况下 的分法有：先将一本小说和一本诗集分到一个人手上，有 4 种分法， 将剩余的 2 本小说，1 本诗集分给剩余 3 个同学，有 3 种分法，共有 3×4＝12(种)； 第二类，有一个人分到两本诗集，这种情况下的分法有：先将两 本诗集分到一个人手上，有 4 种情况，将剩余的 3 本小说分给剩余 3 个人，只有一种分法．共有 4×1＝4(种)； 第三类，有一个人分到两本小说，这种情况的分法有：先将两本 小说分到一个人手上，有 4 种情况，再将剩余的 2 本诗集和 1 本小说 分给剩余的 3 个人，有 3 种分法．那么共有 4×3＝12(种)． 综上所述，总共有 12＋4＋12＝28(种)分法． 答案：B 5．有 5 个不同的棱柱、3 个不同的棱锥、4 个不同的圆台、2 个 不同的球，若从中取出 2 个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不 同的取法种数是( ) A．14 B．23 C．48 D．120 解析：分两步：第一步，取多面体，有 5＋3＝8 种不同的取法， 第二步，取旋转体，有 4＋2＝6 种不同的取法． 所以不同的取法种数是 8×6＝48 种． 答案：C 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 6．某运动会上，8 名男运动员参加 100 米决赛．其中甲、乙、 丙三人必须在 1,2,3,4,5,6,7,8 八条跑道的奇数号跑道上，则安排这 8 名运动员比赛的方式共有________种． 解析：分两步安排这 8 名运动员． 第一步：安排甲，乙，丙三人，共有 1,3,5,7 四条跑道可安排， 所以共有 4×3×2＝24 种方法； 第二步：安排另外 5 人，可在 2,4,6,8 及余下的一条奇数号跑道 3 安排，共有 5×4×3×2×1＝120 种． 所以安排这 8 人的方式共有 24×120＝2 880 种． 答案：2 880 7．将数字 1,2,3,4 填入标号为 1,2,3,4 的四个方格里，每格填一个 数字，则每个格子的标号与所填的数字均不同的填法有________种． 解析：1 号方格里可填 2,3,4 三个数字，有 3 种填法，1 号方格填 好后，再填与 1 号方格内数字相同的号的方格，又有 3 种填法，其余 两个方格只有 1 种填法． 所以共有 3×3×1＝9 种不同的方法． 答案：9 8．在一块并排 10 垄的田地中，选择 2 垄分别种植 A，B 两种作 物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求 A，B 两种作物的 间隔不小于 6 垄，则种植 A，B 的不同方法有________种．(用数字作 答) 解析：按从左往右把各垄田地依次列为 1,2,3，?，10.分两步： 第一步，先选垄，有 1,8；1,9；1,10；2,9；2,10；3,10.共 6 种选 法； 第二步，种植 A，B 两种作物，有 2 种选法． 因此，由分步乘法计数原理， 不同的选垄种植方法有 6×2＝12(种)． 答案：12 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 9．8 张卡片上写着 0,1,2，?，7 共 8 个数字，取其中的三张卡 片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？ 解析：先排放百位，从 1,2，?，7 共 7 个数中选一个有 7 种选 法； 再排十位，从除去百位的数外，剩余的 7 个数(包括 0)中选一个， 有 7 种选法； 最后排个位，从除前两步选出的数外，剩余的 6 个数中选一个， 有 6 种选法．由分步乘法计数原理， 共可以组成 7×7×6＝294 个不同的三位数． 10. 编号为 A，B，C，D，E 的五个小球放在如图所示的五个盒子里， 要求每个盒子只能放一个小球，且 A 球不能放在 1,2 号，B 球必须放 在与 A 球相邻的盒子中，求不同的放法有多少种？ 4 解析：根据 A 球所在位置分三类： (1)若 A 球放在 3 号盒子内，则 B 球只能放在 4 号盒子内， 余下的三个盒子放球 C，D，E， 则根据分步乘法计数原理得 3×2×1＝6 种不同的放法． (2)若 A 球放在 5 号盒子内，则 B 球只能放在 4 号盒子内， 余下的三个盒子放球 C，D，E，则根据分步乘法计数原理得 3×2×1＝6 种不同的放法． (3)若 A 球放在 4 号盒子内，则 B 球可以放在 2 号，3 号，5 号盒 子中的任何一个，有 3 种， 余下的三个盒子放球 C，D，E 有 3×2×1＝6 种不同的放法， 根据分步乘法计数原理得 3×3×2×1＝18 种不同方法． 综上所述，由分类加法计数原理得不同的放法共有 6＋6＋18＝ 30 种． |能力提升能力提升|(20 分钟，分钟，40 分分) 11． 甲与其四位同事各有一辆私家车， 车牌尾数分别是 0,0,2,1,5， 为遵守当地某月 5 日至 9 日 5 天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数 的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行， 每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用 车方案种数为( ) A．5 B．24 C．32 D．64 解析：5 日至 9 日，有 3 天奇数日，2 天偶数日，第一步安排奇 数日出行，每天都有 2 种选择，共有 23＝8(种)， 第二步安排偶数日出行分两类，第一类，先选 1 天安排甲的车， 另外一天安排其他车，有 2×2＝4(种)． 第二类，不安排甲的车，每天都有 2 种选择，共有 22＝4(种)， 共计 4＋4＝8， 根据分步乘法计数原理，不同的用车方案种数共有 8×8＝64.故 选 D. 答案：D 12．从{－3，－2，－1,0,1,2,3}中，任取 3 个不同的数作为抛物 线方程 y＝ax2＋bx＋c 的系数，如果抛物线经过原点，且顶点在第一 象限，则这样的抛物线共有________条． 解析：因为抛物线经过原点，所以 c＝0， 从而知 c 只有 1 种取值． 又抛物线 y＝ax2＋bx＋c 顶点在第一象限， 5 所以 ? ? ? － b 2a0， 4ac－b2 4a 0， 由 c＝0，得 a0， 所以 a∈{－3，－2，－1}，b∈{1,2,3}， 这样要求的抛物线的条数可由 a，b，c 的取值来确定： 第一步：确定 a 的值，有 3 种方法； 第二步：确定 b 的值，有 3 种方法； 第三步：确定 c 的值，有 1 种方法． 由分步乘法计数原理知， 表示的不同的抛物线有 N＝3×3×1＝9(条)． 答案：9 13．用 n 种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图所示①②)，要 求在 A， B， C， D 四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色． (1)若 n＝6，为①着色时共有多少种不同的方法？ (2)若为②着色时共有 120 种不同的方法，求 n. 解析：(1)为 A 着色有 6 种方法，为 B 着色有 5 种方法，为 C 着 色有 4 种方法，为 D 着色也有 4 种方法，所以，共有着色方法 6×5×4×4＝480(种)． (2)与(1)的区别在于与 D 相邻的区域由两块变成了三块． 同理，不同的着色方法数是 n(n－1)(n－2)(n－3)． 因为 n(n－1)(n－2)(n－3)＝120. 又 120a2且 a3a2，则称这 样的三位数为凹数(如 102,323,756 等)，那么所有凹数个数是多少？ 解析：(1)分 8 类：当中间数为 2 时，百位只能选 1，个位可选 1、 6 0，由分步乘法计数原理，有 1×2＝2 个； 当中间数为 3 时，百位可选 1、2，个位可选 0、1、2，由分步乘 法计数原理，有 2×3＝6 个；同理可得： 当中间数为 4 时，有 3×4＝12 个； 当中间数为 5 时，有 4×5＝20 个； 当中间数为 6 时，有 5×6＝30 个； 当中间数为 7 时，有 6×7＝42 个； 当中间数为 8 时，有 7×8＝56 个； 当中间数为 9 时，有 8×9＝72 个； 故共有 2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240 个． (2)分 8 类：当中间数为 0 时，百位可选 1～9，个位可选 1～9， 由分步乘法计数原理，有 9×9＝81 个；当中间数为 1 时，百位可选 2～9，个位可选 2～9，由分步乘法计数原理，有 8×8＝64 个；同理 可得： 当中间数为 2 时，有 7×7＝49 个； 当中间数为 3 时，有 6×6＝36 个； 当中间数为 4 时，有 5×5＝25 个； 当中间数为 5 时，有 4×4＝16 个； 当中间数为 6 时，有 3×3＝9 个； 当中间数为 7 时，有 2×2＝4 个； 当中间数为 8 时，有 1×1＝1 个； 故共有 81＋64＋49＋36＋25＋16＋9＋4＋1＝285 个．