2019年高中数学人教A版选修2-3练习:第2章 随机变量及其分布2.4 Word版含解析.doc
1 第第二二章章 2.4 A 级 基础巩固 一、选择题 1.已知一次考试共有 60 名同学参加,考生的成绩 X~N110,52,据此估计,大约应有 57 人的分数在下列哪个区间内 导学号 51124579 C A.90,110] B.95,125] C.100,120] D.105,115] [解析] 由于 X~N110,52,∴μ=110,σ=5. 因此考试成绩在区间105,115],100,120],95,125]上的概率分别应是 0.6826,0.9544, 0.9974. 由于一共有 60 人参加考试, ∴成绩位于上述三个区间的人数分别是 600.6826≈41 人,600.9544≈57 人, 600.9974≈60 人.故选 C. 2.2016· 武汉高二检测某班有 50 名学生,一次考试后数学成绩 ξ~N110,102,若 P100≤ξ≤110=0.34,则估计该班学生数学成绩在 120 分以上的人数为 导学号 51124580 C A.10 B.9 C.8 D.7 [解析] ∵考试的成绩 ξ 服从正态分布 N110,102, ∴考试成绩 ξ 的概率分布关于 ξ=110 对称, ∵P100≤ξ≤110=0.34, ∴Pξ≥120=Pξ≤100=1 21-0.342=0.16, ∴该班数学成绩在 120 分以上的人数为 0.1650=8. 故选 C. 3.如图是当 σ 取三个不同值 σ1,σ2,σ3时的三种正态曲线,那么 σ1,σ2,σ3的大小关 系是 导学号 51124581 D 2 A.σ11σ2σ30 B.0σ2σ30 D.0120=0.1, ∴P90≤ξ2=p,则 P0PX≤σ1, ∴B 错;对任意实数 t,PX≥t5=1-P55=1+P7-2X≤7+2 2 = 1+0.9544 2 . 显然第二个方案“利润超过 5 万元”的概率比较大,故他应该选择第二个方案. 6.2016· 天水高二检测某市教育局为了了解高三学生体育达标情况,对全市高三学生 进行了体能测试, 经分析, 全市学生体能测试成绩 X 服从正态分布 N80, σ2满分为 100 分, 已 知 PX75 = 0.3 , PX≥95 = 0.1 , 现 从 该 市 高 三 学 生 中 随 机 抽 取 三 位 同 学. 导学号 51124594 1求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[80,85,[85,95,[95,100]内各有一位同 学的概率; 2记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[75,85]的人数为 ξ,求随机变量 ξ 的分布 列和数学期望 Eξ. [解析] 1P80≤X85=1 2-PX≤75=0.2, P85≤X95=PX≥85-PX≥95=PX75- PX≥95=0.3-0.1=0.2, 所以所求概率 P=A330.20.20.1=0.024. 6 2P75≤X≤85=1-2PX75=0.4, 所以 ξ 服从二项分布 B3,0.4, Pξ=0=0.63=0.216,Pξ=1=30.40.62=0.432, Pξ=2=30.420.6=0.288,Pξ=3=0.43=0.064, 所以随机变量 ξ 的分布列是 ξ 0 1 2 3 P 0.216 0.432 0.288 0.064 Eξ=30.4=1.2人. C 级 能力拔高 某砖瓦厂生产的砖的抗断强度 X 服从正态分布 N30,0.82,质检人员从该厂某一天生 产的 1000 块砖中随机抽查一块,测得它的抗断强度为 27.5,你认为该厂这一天生产的这批 砖是否合格为什么 导学号 51124595 [解析] 解决本题的关键是看随机抽查的一块砖的抗断强度是否符合 3σ 原则,若符合, 则认为这批砖合格,否则不合格.因为 μ=30,σ=0.8,所以容易计算 μ-3σ 和 μ+3σ. 欲判定这批砖是否合格, 关键是看随机抽查的一块砖的抗断强度是在区间μ-3σ, μ+3σ] 内,还是在区间μ-3σ,μ+3σ]外. 由于在一次试验中 X 落在区间μ-3σ,μ+3σ]内的概率为 0.9974,故 X 几乎必然落在上 述区间内. 于是把 μ=30,σ=0.8 代入,得 μ-3σ=30-30.8=27.6,μ+3σ=30+30.8=32.4, 即算出的区间μ-3σ,μ+3σ]=27.6,32.4], 而 27.527.6,32.4],所以据此认为这批砖不合格.