2019年高中数学人教A版选修2-3练习：第2章 随机变量及其分布2.4 Word版含解析.doc

1 第第二二章章 2.4 A 级 基础巩固 一、选择题 1．已知一次考试共有 60 名同学参加，考生的成绩 X～N(110,52)，据此估计，大约应有 57 人的分数在下列哪个区间内 导学号 51124579 ( C ) A．(90,110] B．(95,125] C．(100,120] D．(105,115] [解析] 由于 X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5. 因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是 0.6826,0.9544, 0.9974. 由于一共有 60 人参加考试， ∴成绩位于上述三个区间的人数分别是： 60×0.6826≈41 人，60×0.9544≈57 人， 60×0.9974≈60 人．故选 C． 2．(2016· 武汉高二检测)某班有 50 名学生，一次考试后数学成绩 ξ～N(110,102)，若 P(100≤ξ≤110)＝0.34，则估计该班学生数学成绩在 120 分以上的人数为 导学号 51124580 ( C ) A．10 B．9 C．8 D．7 [解析] ∵考试的成绩 ξ 服从正态分布 N(110,102)， ∴考试成绩 ξ 的概率分布关于 ξ＝110 对称， ∵P(100≤ξ≤110)＝0.34， ∴P(ξ≥120)＝P(ξ≤100)＝1 2(1－0.34×2)＝0.16， ∴该班数学成绩在 120 分以上的人数为 0.16×50＝8. 故选 C． 3．如图是当 σ 取三个不同值 σ1，σ2，σ3时的三种正态曲线，那么 σ1，σ2，σ3的大小关 系是 导学号 51124581 ( D ) 2 A．σ11σ2σ30 B．0σ2σ30 D．0120)＝0.1， ∴P(90≤ξ2)＝p，则 P(0P(X≤σ1)， ∴B 错；对任意实数 t，P(X≥t)5)＝1－P?55)＝1＋P?7－2X≤7＋2? 2 ＝ 1＋0.9544 2 . 显然第二个方案“利润超过 5 万元”的概率比较大，故他应该选择第二个方案． 6．(2016· 天水高二检测)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生 进行了体能测试， 经分析， 全市学生体能测试成绩 X 服从正态分布 N(80， σ2)(满分为 100 分)， 已 知 P(X75) ＝ 0.3 ， P(X≥95) ＝ 0.1 ， 现 从 该 市 高 三 学 生 中 随 机 抽 取 三 位 同 学. 导学号 51124594 (1)求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[80,85)，[85,95)，[95,100]内各有一位同 学的概率； (2)记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[75,85]的人数为 ξ，求随机变量 ξ 的分布 列和数学期望 E(ξ)． [解析] (1)P(80≤X85)＝1 2－P(X≤75)＝0.2， P(85≤X95)＝P(X≥85)－P(X≥95)＝P(X75)－ P(X≥95)＝0.3－0.1＝0.2， 所以所求概率 P＝A33×0.2×0.2×0.1＝0.024. 6 (2)P(75≤X≤85)＝1－2P(X75)＝0.4， 所以 ξ 服从二项分布 B(3,0.4)， P(ξ＝0)＝0.63＝0.216，P(ξ＝1)＝3×0.4×0.62＝0.432， P(ξ＝2)＝3×0.42×0.6＝0.288，P(ξ＝3)＝0.43＝0.064， 所以随机变量 ξ 的分布列是： ξ 0 1 2 3 P 0.216 0.432 0.288 0.064 E(ξ)＝3×0.4＝1.2(人)． C 级 能力拔高 某砖瓦厂生产的砖的抗断强度 X 服从正态分布 N(30，0.82)，质检人员从该厂某一天生 产的 1000 块砖中随机抽查一块，测得它的抗断强度为 27.5，你认为该厂这一天生产的这批 砖是否合格？为什么？ 导学号 51124595 [解析] 解决本题的关键是看随机抽查的一块砖的抗断强度是否符合 3σ 原则，若符合， 则认为这批砖合格，否则不合格．因为 μ＝30，σ＝0.8，所以容易计算 μ－3σ 和 μ＋3σ. 欲判定这批砖是否合格， 关键是看随机抽查的一块砖的抗断强度是在区间(μ－3σ， μ＋3σ] 内，还是在区间(μ－3σ，μ＋3σ]外． 由于在一次试验中 X 落在区间(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率为 0.9974，故 X 几乎必然落在上 述区间内． 于是把 μ＝30，σ＝0.8 代入，得 μ－3σ＝30－3×0.8＝27.6，μ＋3σ＝30＋3×0.8＝32.4， 即算出的区间(μ－3σ，μ＋3σ]＝(27.6,32.4]， 而 27.5?(27.6,32.4]，所以据此认为这批砖不合格．