2019年高中数学人教A版选修2-3练习：第2章 随机变量及其分布2.4 Word版含解析.doc

1 第第二二章章 2.4 A 级 基础巩固 一、选择题 1．已知一次考试共有 60 名同学参加，考生的成绩 X～N110,52，据此估计，大约应有 57 人的分数在下列哪个区间内 导学号 51124579 C A．90,110] B．95,125] C．100,120] D．105,115] [解析] 由于 X～N110,52，∴μ＝110，σ＝5. 因此考试成绩在区间105,115]，100,120]，95,125]上的概率分别应是 0.6826,0.9544, 0.9974. 由于一共有 60 人参加考试， ∴成绩位于上述三个区间的人数分别是 600.6826≈41 人，600.9544≈57 人， 600.9974≈60 人．故选 C． 2．2016· 武汉高二检测某班有 50 名学生，一次考试后数学成绩 ξ～N110,102，若 P100≤ξ≤110＝0.34，则估计该班学生数学成绩在 120 分以上的人数为 导学号 51124580 C A．10 B．9 C．8 D．7 [解析] ∵考试的成绩 ξ 服从正态分布 N110,102， ∴考试成绩 ξ 的概率分布关于 ξ＝110 对称， ∵P100≤ξ≤110＝0.34， ∴Pξ≥120＝Pξ≤100＝1 21－0.342＝0.16， ∴该班数学成绩在 120 分以上的人数为 0.1650＝8. 故选 C． 3．如图是当 σ 取三个不同值 σ1，σ2，σ3时的三种正态曲线，那么 σ1，σ2，σ3的大小关 系是 导学号 51124581 D 2 A．σ11σ2σ30 B．0σ2σ30 D．0120＝0.1， ∴P90≤ξ2＝p，则 P0PX≤σ1， ∴B 错；对任意实数 t，PX≥t5＝1－P55＝1＋P7－2X≤7＋2 2 ＝ 1＋0.9544 2 . 显然第二个方案“利润超过 5 万元”的概率比较大，故他应该选择第二个方案． 6．2016· 天水高二检测某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生 进行了体能测试， 经分析， 全市学生体能测试成绩 X 服从正态分布 N80， σ2满分为 100 分， 已 知 PX75 ＝ 0.3 ， PX≥95 ＝ 0.1 ， 现 从 该 市 高 三 学 生 中 随 机 抽 取 三 位 同 学. 导学号 51124594 1求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[80,85，[85,95，[95,100]内各有一位同 学的概率； 2记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[75,85]的人数为 ξ，求随机变量 ξ 的分布 列和数学期望 Eξ． [解析] 1P80≤X85＝1 2－PX≤75＝0.2， P85≤X95＝PX≥85－PX≥95＝PX75－ PX≥95＝0.3－0.1＝0.2， 所以所求概率 P＝A330.20.20.1＝0.024. 6 2P75≤X≤85＝1－2PX75＝0.4， 所以 ξ 服从二项分布 B3,0.4， Pξ＝0＝0.63＝0.216，Pξ＝1＝30.40.62＝0.432， Pξ＝2＝30.420.6＝0.288，Pξ＝3＝0.43＝0.064， 所以随机变量 ξ 的分布列是 ξ 0 1 2 3 P 0.216 0.432 0.288 0.064 Eξ＝30.4＝1.2人． C 级 能力拔高 某砖瓦厂生产的砖的抗断强度 X 服从正态分布 N30，0.82，质检人员从该厂某一天生 产的 1000 块砖中随机抽查一块，测得它的抗断强度为 27.5，你认为该厂这一天生产的这批 砖是否合格为什么 导学号 51124595 [解析] 解决本题的关键是看随机抽查的一块砖的抗断强度是否符合 3σ 原则，若符合， 则认为这批砖合格，否则不合格．因为 μ＝30，σ＝0.8，所以容易计算 μ－3σ 和 μ＋3σ. 欲判定这批砖是否合格， 关键是看随机抽查的一块砖的抗断强度是在区间μ－3σ， μ＋3σ] 内，还是在区间μ－3σ，μ＋3σ]外． 由于在一次试验中 X 落在区间μ－3σ，μ＋3σ]内的概率为 0.9974，故 X 几乎必然落在上 述区间内． 于是把 μ＝30，σ＝0.8 代入，得 μ－3σ＝30－30.8＝27.6，μ＋3σ＝30＋30.8＝32.4， 即算出的区间μ－3σ，μ＋3σ]＝27.6,32.4]， 而 27.527.6,32.4]，所以据此认为这批砖不合格．