2019年高中数学人教A版选修2-3练习:第1章 计数原理1.1 第1课时 Word版含解析.doc
1 第第一一章章 1.1 第第 1 课时课时 A 级 基础巩固 一、选择题 1.从甲地到乙地一天有汽车 8 班,火车 3 班,轮船 2 班,某人从甲地到乙地,他共有 不同的走法数为 导学号 51124017 A A.13 种 B.16 种 C.24 种 D.48 种 [解析] 应用分类加法计数原理,不同走法数为 8+3+2=13种.故选 A. 2.a1+a2b1+b2c1+c2+c3完全展开后的项数为 导学号 51124018 B A.9 B.12 C.18 D.24 [解析] 每个括号内各取一项相乘才能得到展开式中的一项,由分步乘法计数原理得, 完全展开后的项数为 223=12. 3.定义集合 A 与 B 的运算 A*B 如下A*B={x,y|x∈A,y∈B},若 A={a,b,c}, B={a,c,d,e},则集合 A*B 的元素个数为 导学号 51124019 C A.34 B.43 C.12 D.24 [解析] 显然a,a、a,c等均为 A*B 中的元素,确定 A*B 中的元素是 A 中取一个元 素来确定 x,B 中取一个元素来确定 y,由分步乘法计数原理可知 A*B 中有 34=12 个元 素.故选 C. 4.如下图所示,小圆圈表示网络的结点,结点之间的线段表示它们有网线相连.连线 标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点 A 向结点 B 传递信 息,信息可以分开从不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为 导学号 51124020 D A.26 B.24 C.20 D.19 [解析] 因信息可以分开沿不同的路线同时传递,由分类加法计数原理,完成从 A 向 B 2 传递有四种方法12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6,故单位时间内传递的最大信息量 为四条不同网线上信息量的和3+4+6+6=19,故选 D. 5.有四位老师在同一年级的 4 个班级中,各教一个班的数学,在数学考试时,要求每 位老师均不在本班监考,则安排监考的方法种数是 导学号 51124021 B A.8 种 B.9 种 C.10 种 D.11 种 [解析] 设四个班级分别是 A、B、C、D,它们的老师分别是 a、b、c、d,并设 a 监考 的是 B,则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级,共有 3 种不同的方法;同理当 a 监考 C、D 时,剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有 3 种不同的方法.这样,由分类 加法计数原理知共有 3+3+3=9种不同的安排方法.另外,本题还可让 a 先选,可从 B、 C、D 中选一个,即有 3 种选法.若选的是 B,则 b 从剩下的 3 个班级中任选一个,也有 3 种选法, 剩下的两个老师都只有一种选法, 这样用分步乘法计数原理求解, 共有 3311 =9种不同的安排方法. 6.从 0、2 中选一个数字,从 1、3、5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中 奇数的个数为 导学号 51124022 B A.24 B.18 C.12 D.6 [解析] 1当从 0,2 中选取 2 时,组成的三位奇数的个位只能奇数,只要 2 不排在个位 即可,先排 2 再排 1,3,5 中选出的两个奇数,共有 232=12个. 2当从 0,2 中选取 0 时,组成的三位奇数的个位只能是奇数,0 必须在十位,只要排好 从 1,3,5 中选出的两个奇数.共有 32=6个. 综上,由分类加法计数原理知共有 12+6=18个. 二、填空题 7.从数字 1,2,3,4,5,6 中取两个数相加,共得__4__个不同的偶数. 导学号 51124023 [解析] 由两个数相加是偶数知两个数都是偶数或两个数都是奇数,分两类, 第一类,两个数都是偶数,2+4=6,2+6=8,4+6=10,共得 3 个偶数, 第二类,两个数都是奇数,1+3=4,1+5=6,3+5=8,共得 3 个偶数, ∵2+6=3+5,2+4=1+5, ∴从数字 1,2,3,4,5,6 中取两个相加,共得 4 个不同的偶数, 故答案为 4. 8.直线方程 Ax+By=0,若从 0,1,3,5,7,8 这 6 个数字中每次取两个不同的数作为 A,B 的值,则可表示__22__条不同的直线. 导学号 51124024 3 [解析] 若 A 或 B 中有一个为零时,有 2 条;当 AB≠0 时有 54=20 条,故共有 20 +2=22 条不同的直线. 9.5 名乒乓球队员中,有 2 名老队员和 3 名新队员.现从中选出 3 名队员排成 1、2、3 号参加团体比赛 ,则入选的 3 名队员中至少有一名老队员,且 1、2 号中至少有 1 名新队员 的排法有__48__种.用数字作答 导学号 51124025 [解析] 本题可分为两类完成两老一新时,有 322=12种排法;两新一老时, 有 2332=36种排法,即共有 48 种排法. 三、解答题 10.有不同的红球 8 个,不同的白球 7 个. 导学号 51124026 1从中任意取出一个球,有多少种不同的取法 2从中任意取出两个不同颜色的球,有多少种不同的取法 [解析] 1由分类加法计数原理得, 从中任取一个球共有 8+7=15 种; 2由分步乘法计数原理得, 从中任取两个不同颜色的球共有 87=56 种. B 级 素养提升 一、选择题 1.2016· 石家庄高二检测用 0、1、、9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的 个数为 导学号 51124027 B A.243 B.252 C.261 D.279 [解析] 用 0,1,,9 十个数字,可以组成的三位数的个数为 91010=900,其中 三位数字全不相同的为 998=648,所以可以组成有重复数字的三位数的个数为 900- 648=252. 2.2016· 天津高二检测设 m∈{1,2,3,4},n∈{-12,-8,-4,-2},则函数 fx=x3 +mx+n 在区间[1,2]上有零点的概率是 导学号 51124028 C A.1 2 B. 9 16 C.11 16 D.13 16 [解析] 根据题意,f′x=3x2+m,又因为 m0,所以 f′x=3x2+m0; 故 fx=x3+mx+n 在 R 上单调递增, 若函数 fx=x3+mx+n 在区间[1,2]上有零点, 4 则只需满足条件 f1≤0 且 f2≥0. ∴m+n≤-1 且 2m+n≥-8, ∴-2m-8≤n≤-m-1, 当 m=1 时,n 取-2,-4,-8; m=2 时,n 取-4,-8,-12; m=3 时,n 取-4,-8,-12; m=4 时,n 取-8,-12; 共 11 种取法,而 m 有 4 种选法,n 有 4 种选法,则函数 fx=x3+mx+n 情况有 44 =16 种, 故函数 fx=x3+mx+n 在区间[1,2]上有零点的概率是11 16,故选 C. 二、填空题 3.一个科技小组中有 4 名女同学,5 名男同学,从中任选一名同学参加学科竞赛,共 有不同的选派方法__9__种;若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛,共有不同 的选派方法__20__种. 导学号 51124029 [解析] 由分类加法计数原理得从中任选一名同学参加学科竞赛共 5+4=9 种,由分步 乘法计数原理得从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛共 54=20 种. 4.圆周上有 2n 个等分点n 大于 2,任取 3 点可得一个三角形,恰为直角三角形的个 数为__2nn-1__. 导学号 51124030 [解析] 先在圆周上找一点,因为有 2n 个等分点,所以应有 n 条直径,不过该点的直 径应有 n-1 条, 这 n-1 条直径都可以与该点形成直角三角形, 一个点可以形成以该点为直 角顶点的 n-1 个直角三角形,而这样的点有 2n 个,所以一共有 2nn-1个符合题意的直角 三角形. 三、解答题 5.已知集合 A={a1,a2,a3,a4},集合 B={b1,b2},其中 ai、bji=1、2、3、4,j= 1、2均为实数. 导学号 51124031 1从集合 A 到集合 B 能构成多少个不同的映射 2能构成多少个以集合 A 为定义域,集合 B 为值域的不同函数 [解析] 1因为集合 A 中的每个元素 aii=1、2、3、4与集合 B 中元素的对应方法都有 2 种,由分步乘法计数原理,可构成 A→B 的映射有 N=24=16 个. 2在1的映射中,a1、a2、a3、a4均对应同一元素 b1或 b2的情形.此时构不成以集合 A 为定义域,以集合 B 为值域的函数,这样的映射有 2 个. 所以构成以集合 A 为定义域,以集合 B 为值域的函数有 M=16-2=14 个. 5 6.集合 A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4}.现从 A,B 中各取一个元素作为点 Px, y的坐标. 导学号 51124032 1可以得到多少个不同的点 2在这些点中,位于第一象限的有几个 [解析] 1一个点的坐标由 x,y 两个元素确定,若它们有一个不同,则表示不同的点, 可分为两类 第一类选 A 中的元素为 x,B 中的元素为 y,有 34=12个不同的点; 第二类选 A 中的元素为 y,B 中的元素为 x,有 43=12个不同的点. 由分类加法计数原理得不同的点的个数为 12+12=24个. 2第一象限内的点 x,y 必须为正数,从而只能取 A、B 的正数,同样可分为两类,类 似于1. 由分类加法计数原理得适合题意的不同点的个数为 22+22=8个. C 级 能力拔高 如图所示,用 5 种不同的颜料给 4 块图形A,B,C,D涂色,要求共边两块颜色互异, 求有多少种不同的涂色方案. 导学号 51124033 [解析] 本题的解法可按照顺序涂色,但要注意分 A,C 是同色或不同色两类,也可按 照涂色种类分为涂 4 种、3 种或 2 种颜色,然后在每类中分步. 解法一按 A,C 颜色相同或不同进行分类. 若 A,C 颜色相同,则 A 有 5 种涂色方法,B 有 4 种涂色方法,D 有 4 种涂色方法,故 共有 544=80 种涂法. 若 A,C 颜色不同,则 A 有 5 种涂色方法,C 有 4 种涂色方法,B 有 3 种涂色方法,D 有 3 种涂色方法,故共有 5433=180 种涂法. 根据分类加法计数原理,共有 80+180=260 种不同的涂色方案. 解法二按涂色种类进行分类. 第一类涂 4 种颜色,分四步A 有 5 种涂法,B 有 4 种涂法,C 有 3 种涂法,D 有 2 种涂法. 故共有 5432=120 种涂法. 第二类涂 3 种颜色,则 A,C 颜色相同或 B,D 颜色相同. 当 A,C 颜色相同时,A,C 有 5 种涂法,B 有 4 种涂法,D 有 3 种涂法. 故共有 543=60 种涂法. 6 当 B,D 颜色相同时,同理也有 60 种不同的涂法,故共有 60+60=120 种涂法. 第三类涂 2 种颜色,则 A,C 颜色相同,B,D 颜色相同,A,C 有 5 种涂法,B,D 有 4 种涂法. 故共有 54=20 种涂法. 根据分类加法计数原理,共有 120+120+20=260 种不同的涂色方案.