2019年高中数学人教A版选修2-3练习：第1章 计数原理1.1 第1课时 Word版含解析.doc

1 第第一一章章 1.1 第第 1 课时课时 A 级 基础巩固 一、选择题 1．从甲地到乙地一天有汽车 8 班，火车 3 班，轮船 2 班，某人从甲地到乙地，他共有 不同的走法数为 导学号 51124017 ( A ) A．13 种 B．16 种 C．24 种 D．48 种 [解析] 应用分类加法计数原理，不同走法数为 8＋3＋2＝13(种)．故选 A． 2．(a1＋a2)(b1＋b2)(c1＋c2＋c3)完全展开后的项数为 导学号 51124018 ( B ) A．9 B．12 C．18 D．24 [解析] 每个括号内各取一项相乘才能得到展开式中的一项，由分步乘法计数原理得， 完全展开后的项数为 2×2×3＝12. 3．定义集合 A 与 B 的运算 A*B 如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若 A＝{a，b，c}， B＝{a，c，d，e}，则集合 A*B 的元素个数为 导学号 51124019 ( C ) A．34 B．43 C．12 D．24 [解析] 显然(a，a)、(a，c)等均为 A*B 中的元素，确定 A*B 中的元素是 A 中取一个元 素来确定 x，B 中取一个元素来确定 y，由分步乘法计数原理可知 A*B 中有 3×4＝12 个元 素．故选 C． 4．如下图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连．连线 标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点 A 向结点 B 传递信 息，信息可以分开从不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为 导学号 51124020 ( D ) A．26 B．24 C．20 D．19 [解析] 因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类加法计数原理，完成从 A 向 B 2 传递有四种方法：12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6，故单位时间内传递的最大信息量 为四条不同网线上信息量的和：3＋4＋6＋6＝19，故选 D． 5．有四位老师在同一年级的 4 个班级中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每 位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是 导学号 51124021 ( B ) A．8 种 B．9 种 C．10 种 D．11 种 [解析] 设四个班级分别是 A、B、C、D，它们的老师分别是 a、b、c、d，并设 a 监考 的是 B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有 3 种不同的方法；同理当 a 监考 C、D 时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有 3 种不同的方法．这样，由分类 加法计数原理知共有 3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法．另外，本题还可让 a 先选，可从 B、 C、D 中选一个，即有 3 种选法．若选的是 B，则 b 从剩下的 3 个班级中任选一个，也有 3 种选法， 剩下的两个老师都只有一种选法， 这样用分步乘法计数原理求解， 共有 3×3×1×1 ＝9(种)不同的安排方法． 6．从 0、2 中选一个数字，从 1、3、5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中 奇数的个数为 导学号 51124022 ( B ) A．24 B．18 C．12 D．6 [解析] (1)当从 0,2 中选取 2 时，组成的三位奇数的个位只能奇数，只要 2 不排在个位 即可，先排 2 再排 1,3,5 中选出的两个奇数，共有 2×3×2＝12(个)． (2)当从 0,2 中选取 0 时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，0 必须在十位，只要排好 从 1,3,5 中选出的两个奇数．共有 3×2＝6(个)． 综上，由分类加法计数原理知共有 12＋6＝18(个)． 二、填空题 7．从数字 1,2,3,4,5,6 中取两个数相加，共得__4__个不同的偶数. 导学号 51124023 [解析] 由两个数相加是偶数知两个数都是偶数或两个数都是奇数，分两类， 第一类，两个数都是偶数，2＋4＝6,2＋6＝8,4＋6＝10，共得 3 个偶数， 第二类，两个数都是奇数，1＋3＝4,1＋5＝6,3＋5＝8，共得 3 个偶数， ∵2＋6＝3＋5,2＋4＝1＋5， ∴从数字 1,2,3,4,5,6 中取两个相加，共得 4 个不同的偶数， 故答案为 4. 8．直线方程 Ax＋By＝0，若从 0,1,3,5,7,8 这 6 个数字中每次取两个不同的数作为 A，B 的值，则可表示__22__条不同的直线. 导学号 51124024 3 [解析] 若 A 或 B 中有一个为零时，有 2 条；当 AB≠0 时有 5×4＝20 条，故共有 20 ＋2＝22 条不同的直线． 9．5 名乒乓球队员中，有 2 名老队员和 3 名新队员．现从中选出 3 名队员排成 1、2、3 号参加团体比赛 ，则入选的 3 名队员中至少有一名老队员，且 1、2 号中至少有 1 名新队员 的排法有__48__种．(用数字作答) 导学号 51124025 [解析] 本题可分为两类完成：两老一新时，有 3×2×2＝12(种)排法；两新一老时， 有 2×3×3×2＝36(种)排法，即共有 48 种排法． 三、解答题 10．有不同的红球 8 个，不同的白球 7 个. 导学号 51124026 (1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？ (2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？ [解析] (1)由分类加法计数原理得， 从中任取一个球共有 8＋7＝15 种； (2)由分步乘法计数原理得， 从中任取两个不同颜色的球共有 8×7＝56 种． B 级 素养提升 一、选择题 1．(2016· 石家庄高二检测)用 0、1、…、9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的 个数为 导学号 51124027 ( B ) A．243 B．252 C．261 D．279 [解析] 用 0,1，…，9 十个数字，可以组成的三位数的个数为 9×10×10＝900，其中 三位数字全不相同的为 9×9×8＝648，所以可以组成有重复数字的三位数的个数为 900－ 648＝252. 2．(2016· 天津高二检测)设 m∈{1,2,3,4}，n∈{－12，－8，－4，－2}，则函数 f(x)＝x3 ＋mx＋n 在区间[1,2]上有零点的概率是 导学号 51124028 ( C ) A．1 2 B． 9 16 C．11 16 D．13 16 [解析] 根据题意，f′(x)＝3x2＋m，又因为 m0，所以 f′(x)＝3x2＋m0； 故 f(x)＝x3＋mx＋n 在 R 上单调递增， 若函数 f(x)＝x3＋mx＋n 在区间[1,2]上有零点， 4 则只需满足条件 f(1)≤0 且 f(2)≥0. ∴m＋n≤－1 且 2m＋n≥－8， ∴－2m－8≤n≤－m－1， 当 m＝1 时，n 取－2，－4，－8； m＝2 时，n 取－4，－8，－12； m＝3 时，n 取－4，－8，－12； m＝4 时，n 取－8，－12； 共 11 种取法，而 m 有 4 种选法，n 有 4 种选法，则函数 f(x)＝x3＋mx＋n 情况有 4×4 ＝16 种， 故函数 f(x)＝x3＋mx＋n 在区间[1,2]上有零点的概率是11 16，故选 C． 二、填空题 3．一个科技小组中有 4 名女同学，5 名男同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，共 有不同的选派方法__9__种；若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛，共有不同 的选派方法__20__种. 导学号 51124029 [解析] 由分类加法计数原理得从中任选一名同学参加学科竞赛共 5＋4＝9 种，由分步 乘法计数原理得从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛共 5×4＝20 种． 4．圆周上有 2n 个等分点(n 大于 2)，任取 3 点可得一个三角形，恰为直角三角形的个 数为__2n(n－1)__. 导学号 51124030 [解析] 先在圆周上找一点，因为有 2n 个等分点，所以应有 n 条直径，不过该点的直 径应有 n－1 条， 这 n－1 条直径都可以与该点形成直角三角形， 一个点可以形成以该点为直 角顶点的 n－1 个直角三角形，而这样的点有 2n 个，所以一共有 2n(n－1)个符合题意的直角 三角形． 三、解答题 5．已知集合 A＝{a1，a2，a3，a4}，集合 B＝{b1，b2}，其中 ai、bj(i＝1、2、3、4，j＝ 1、2)均为实数. 导学号 51124031 (1)从集合 A 到集合 B 能构成多少个不同的映射？ (2)能构成多少个以集合 A 为定义域，集合 B 为值域的不同函数？ [解析] (1)因为集合 A 中的每个元素 ai(i＝1、2、3、4)与集合 B 中元素的对应方法都有 2 种，由分步乘法计数原理，可构成 A→B 的映射有 N＝24＝16 个． (2)在(1)的映射中，a1、a2、a3、a4均对应同一元素 b1或 b2的情形．此时构不成以集合 A 为定义域，以集合 B 为值域的函数，这样的映射有 2 个． 所以构成以集合 A 为定义域，以集合 B 为值域的函数有 M＝16－2＝14 个． 5 6．集合 A＝{1,2，－3}，B＝{－1，－2,3,4}．现从 A，B 中各取一个元素作为点 P(x， y)的坐标. 导学号 51124032 (1)可以得到多少个不同的点？ (2)在这些点中，位于第一象限的有几个？ [解析] (1)一个点的坐标由 x，y 两个元素确定，若它们有一个不同，则表示不同的点， 可分为两类： 第一类：选 A 中的元素为 x，B 中的元素为 y，有 3×4＝12(个)不同的点； 第二类：选 A 中的元素为 y，B 中的元素为 x，有 4×3＝12(个)不同的点． 由分类加法计数原理得不同的点的个数为 12＋12＝24(个)． (2)第一象限内的点 x，y 必须为正数，从而只能取 A、B 的正数，同样可分为两类，类 似于(1)． 由分类加法计数原理得适合题意的不同点的个数为 2×2＋2×2＝8(个)． C 级 能力拔高 如图所示，用 5 种不同的颜料给 4 块图形(A，B，C，D)涂色，要求共边两块颜色互异， 求有多少种不同的涂色方案. 导学号 51124033 [解析] 本题的解法可按照顺序涂色，但要注意分 A，C 是同色或不同色两类，也可按 照涂色种类分为涂 4 种、3 种或 2 种颜色，然后在每类中分步． 解法一：按 A，C 颜色相同或不同进行分类． 若 A，C 颜色相同，则 A 有 5 种涂色方法，B 有 4 种涂色方法，D 有 4 种涂色方法，故 共有 5×4×4＝80 种涂法． 若 A，C 颜色不同，则 A 有 5 种涂色方法，C 有 4 种涂色方法，B 有 3 种涂色方法，D 有 3 种涂色方法，故共有 5×4×3×3＝180 种涂法． 根据分类加法计数原理，共有 80＋180＝260 种不同的涂色方案． 解法二：按涂色种类进行分类． 第一类：涂 4 种颜色，分四步：A 有 5 种涂法，B 有 4 种涂法，C 有 3 种涂法，D 有 2 种涂法． 故共有 5×4×3×2＝120 种涂法． 第二类：涂 3 种颜色，则 A，C 颜色相同或 B，D 颜色相同． 当 A，C 颜色相同时，A，C 有 5 种涂法，B 有 4 种涂法，D 有 3 种涂法． 故共有 5×4×3＝60 种涂法． 6 当 B，D 颜色相同时，同理也有 60 种不同的涂法，故共有 60＋60＝120 种涂法． 第三类：涂 2 种颜色，则 A，C 颜色相同，B，D 颜色相同，A，C 有 5 种涂法，B，D 有 4 种涂法． 故共有 5×4＝20 种涂法． 根据分类加法计数原理，共有 120＋120＋20＝260 种不同的涂色方案．